Primi elementi di goniometria
|
|
Per capire le definizioni di seno e coseno,
entità legate al valore dell'angolo,
bisogna rifarsi e ragionare con la circonferenza (o cerchio) goniometrica,
cioè
una circonferenza centrata nell'origine degli assi cartesiani ortogonali
e di raggio unitario
In essa si è indicato sen α = PT' =
OT
e cos α = OT' =
PT
ed è immediato concludere che si tratta di
valori che dipendono esclusivamente
dall'angolo e sono alla base di tutta lo goniometria e trigonometria.
Allo stesso modo è facile rendersi conto che
il campo di variazione
è [-1, +1],
potendo assumere
in valore assoluto quello del raggio, supposto unitario.
E se invece non ci riferiamo alla circonferenza gononiometrica,
ma ad una di raggio qualunque?
|
|
|
|
| Nel caso in cui la circonferenza non abbia raggio unitario, possiamo immaginare la situazione della figura a sinistra, dove si individuano i triangoli rettangoli
P'OH' e POH sono simili con ipotenuse coincidenti con il
raggio unitario della circonferenza goniometrica (in colore) e raggio r della circonferenza generica
in cui
PÔH = P'ÔH' = α |
cos α = T'P'
sen α = H'P'
tutti elementi della circonferenza di raggio unitario che non è tracciata.
In POH i cateti sono
x = PT e
y = PH, mentre l'ipotenusa è
r.
Per i teoremi di proporzionalità nei triangoli simili, si può scrivere
1 : r = cos α : x
cioè
r · cos α = 1 · x vale a dire
cos α =
x
r
·
e analogamente
1 : r = sen α : y
cioè
r · sen α = 1 · y
sen α =
y
r
che sono le formule di calcolo di seno e coseno per una circonferenza qualunque; potremmo dire
le coordinate x, y normalizzate a UNO.
|
Dalla circonferenza goniometrica si ricava la prima relazione goniometrica fondamentale che lega seno e coseno di un angolo, applicando semplicemente il
Teorema di Pitagora
sen2 α + cos2 α = 1
|
| Osservando il grafico relativo, per semplicità, alla circonferenza goniometrica si può desumere l'andamento di seno e coseno nei quattro quadranti in cui
viene diviso, partendo dall'angolo α = 0, per il quale evidentemente risulta
sen α = 0; cos α = 1.
Man mano che l'angolo α cresce nel 1° quadrante verso
π
2
, cioè
90°, sen α → 1 mentre
cos α → 0, per cui a 90° evidentemente si ha
sen 90° = 1 mentre cos 90° = 0.
(Figura a sinistra)
|
| Nel primo quadrante occorre mettere in evidenza la relazione che c'è tra
angoli associati complementari, la cui somma cioè è uguale a 90°, per i quali valgono le relazioni, come
è facile desumere,
cos α = sen (90° - α); sen α = cos (90° - α): tipico esempio
la coppia di complementari 30° e 60°, per i quali più avanti sarà fatta una discussione (figura a sinistra)
Dopo i 90° seno e coseno continuano a diminuire, e quindi il coseno assume valori negativi, mentre il seno valori positivi minori di 1.
Nel 2° quadrante si osserva una cosa da notare, riguardante gli
archi associati supplementari, cioè angoli la cui somma è uguale a π; per essi vale la relazione
cos(π - α) = - cos α
ed anche
sen(π - α) = sen α
(figura a destra)
| 
|
|
| Se consideriamo il 1° e il 3° quadrante, allora viene fuori il confronto tra angoli che differiscono di 180°, cioè angoli
α e π + α; e in questo caso si evince che i valori di seno e coseno sono opposti, cioè risulta
cos (π + α) = - cos α e anche
sen (π + α) = - sen α
(figura qui a sinistra)
Per gli angoli opposti, tipo α e - α,
risulta invece facilmente che i coseni sono uguali e i seni opposti
cos α = cos (- α) e
sen α = - sen (-α)
(figura a destra)
| 
|
|
A questo punto si comprende facilmente perchè quando si considerano le formule inverse della identità trigonometrica fondamentale, occorre considerare il doppio segno
per la estrazione di radice quadrata
sen2 α + cos2 α = 1
cos2 α = 1 - sen2 α
cos α = ± √1 - sen2 α
o anche
sen α = ± √1 - cos2 α
Il doppio segno oltre a discendere dalla teoria di estrazione della radice, è giustificato anche goniometricamente perchè ad un seno o coseno
di un angolo, corrispondono sempre coseno o seno di angoli associati che sono sempre di segno opposto, come visto.
|
|
E cominciamo a vedere qualche valore notevole di seno e coseno per gli angoli di utilizzo comune, cominciando da quello di 30° (o
π
6
se espresso in radianti), facendo riferimento alla immagine a lato, dove è rappresentata la circonferenza goniometrica di raggio
OP = OP' = 1
(unitario ); con relativo esagono regolare inscritto, il cui lato PP' = 1
è evidentemente uguale al raggio unitario della circonferenza.
D'altra parte è PÔH = 30° e appare chiaro che
cos PÔH = cos 30° =
√3
2;
come risulta altrettanto chiaro che
sen PÔH = sen 30° =
1
2
.
Infine ricordando che per angoli complementari, detto α uno di essi, valgono le relazioni
sen α = cos(90° - α) e
cos α = sen (90° - α), si può completare la tabella
sen 60° = cos 30° =
√3
2 e anche
cos 60° = sen 30° =
1
2
e procedere con il calcolo di tangenti e cotangenti
tan
π
6
=
sen 30°
cos 30° =
1
2 ·
2
√3
=
√3
3
=
cotan
π
3
|
tan
π
3
=
sen 60°
cos 60° =
√3
2 ·
2
1
= √3
=
cotan
π
6
|
|
| In maniera altrettanto semplice, si deducono i valori di seno, coseno e tangente per l'angolo di 45° (
π
4
)
dal momento che, facendo riferimento alla figura qui accanto, il quadrilatero PHOH' è un quadrato per il quale la diagonale
PO = 1 mentre
PH = OH = sen 45° = cos 45°
da queste considerazioni si deduce che
cos245° + sen245° = 1
sen245° + sen245° = 1
2 sen245° = 1
sen 45° =
√2
2
= cos 45° mentre per la tangente e cotangente si ha
tan 45° =
sen 45°
cos 45°
=
√2
2
·
2
√2
= 1 | cotg 45°
=
1
tg 45°
= 1
|
|
Altre interessanti conclusioni si traggono considerando il decagono regolare inscritto per il quale la geometria razionale euclidea insegna che
il suo lato è uguale alla sezione aurea del raggio della circonferenza circoscritta; dove s'intende che
La sezione aurea di un segmento è data dalla parte di segmento che è media proporzionale tra la misura
del segmento e la parte di esso restante
Cioè, dato  il segmento AB e detta
AH la sua parte aurea, per definizione deve risultare
AB : AH = AH : HB
AH2 = AB · HB
AH2 = AB · (AB - AH)
AH2 + AB · AH - AB2 = 0 e dividendo tutto per AB2, si ha
AH2 + AH - 1 = 0
cioè si passa dalle entità geometriche alle loro misure, ottenendo un'equazione di 2° in AH che ha
due soluzioni di cui una negativa che va scartata non avendo senso fisico e l'altra è
AH =
√5 - 1
2
|
|
|
Nel caso del decagono regolare risulta che il lato l
è la sezione aurea del raggio r della circonferenza circoscritta e quindi si può scrivere
l =
√5 - 1
2
r e l'angolo al centro che lo sottende è ovviamente di 36° dal momento che i lati sono 10, il decagono è appunto regolare e l'angolo giro è 360°,
anche se son tutte cose abbastanza ovvie.
Nel caso poi della circonferenza goniometrica, essendo r = 1, si può scrivere
l = MN =
√5 - 1
2
di conseguenza dalla figura si ricava immediatamente
sen 18°
=
l
2
=
√5 - 1
4
cos 72°
=
√5 - 1
4
(complementare di 18°!)
Dal seno poi si ricava il coseno, grazie all'identità trigonometrica
cos 18° = + √1 - sen2 18°
con
sen2 18°
=
6 - 2 √5
16
e quindi, sostituendo ed elaborando, si ottiene un radicale doppio irriducibile
cos 18° = +
√ 10 + 2 √5
4
avendo scelto il segno positivo perchè l'angolo cade nel primo quadrante.
Ovviamente risulta pure per l'angolo complementare
sen 72° = +
√ 10 + 2 √5
4
ricordiamo infine che
18° =
π
10
In maniera semplice si potranno ricavare seno e coseno di
-
π
10
, di
9
10
π
e di
11
10
π
| |
|
| Tracciando il grafico della variazione del seno al variare dell'angolo, si ottiene la sinusoide che riassume le principali caratteristiche del seno; vale a
dire, ha per codominio l'intervallo chiuso [-1, +1], è definita e continua su tutto l'insieme dei numeri reali,
è periodica di 2π e risulta sfasata di 90° rispetto alla
cosinusoide.
|
|
| Analogamente, tracciando il grafico della variazione del coseno al variare dell'angolo, si ottiene la cosinusoide che riassume le principali caratteristiche del seno; vale a
dire, ha per codominio l'intervallo chiuso [-1, +1], è definita e continua su tutto l'insieme dei numeri reali,
è periodica di 2π e risulta sfasata di 90° rispetto alla
sinusoide.
|
|
| Nella figura a sinistra dove è rappresentata la circonferenza goniometrica di raggio unitario, consideriamo il segmento
TP', staccato prolungando il raggio fino ad incontrare nel punto
T la tangente alla circonferenza nel punto
P'; la misura di questo segmento TP' ha un significato particolare, di particolare importanza, da
individuare un'altra entità goniometrica, fondamentale al pari di seno e coseno di un angolo: la tangente
dell'angolo α, indicata con tg α quindi
tg α = TP'.
E mettendo in proporzione gli elementi corrispondenti dei due triangoli rettangoli simili
POH e TOP', si ottiene
cos α : sen α = 1 : tg α
cos α · tg α = 1 · sen α
tg α =
sen α
cos α
A questo punto, consideriamo in figura il segmento Q'T' la cui misura è fissa a parità di
angolo α e quindi è un'altra entità goniometrica caratteristica legata all'angolo e solo da esso dipendente, che chiamiamo
cotangente dell'angolo α e che è cateto del triangolo rettangolo
OQ'T' che è in relazione di proporzionalità con i lati corrispondenti del triangolo rettangolo
simile OQP, così da poter scrivere
cos α : sen α = cotg α : 1
sen α · cotg α = 1 · cos α
cotg α =
cos α
sen α
chiamata terza relazione goniometrica fondamentale
|
|
| Nella figura a sinistra dove è rappresentata la circonferenza goniometrica di raggio unitario, consideriamo il segmento
OS, ottenuto tracciando la tangente alla circonferenza nel punto
P, fino a tagliare l'asse delle ascisse nel punto
S; il segmento OS, che fa parte dell'asse delle ascisse, è chiamato
sec α, secante di α ed è ugaule, come è facile vedere, all'inverso del cos α:
il triangolo OPS, rettangolo in P, è simile al triangolo rettangolo
OPS' e quindi si può impostare la proporzionalità tra lati corrispondenti, tenendo presente che
sec α = OS
cos α : 1 = 1 : OS
sec α · cos α = 1
sec α =
1
cos α
Nella medesima figura è tracciata anche la cosec α = OS' che sempre per la proporzionalità
tra lati di triangoli rettangoli simili, consente di scrivere
sen α : 1 = 1 : OS'
cosec α · sen α = 1
cosec α =
1
sen α
|
|
| Nel caso della tangente, come in quello successivo della cotangente, nella formula di definizione abbiamo un denominatore (
cos α o
sen α) che periodicamente (ogni 180°) si annulla e quindi in corrispondenza
tangente e cotangente non esistono, o in linguaggio matematico tendono a ± ∞.
Questo significa che la tangente è definita nell'insieme dei numeri reali,
∀α ≠
π
2
+ kπ, ∀k ∈
 ... -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ... e la cosa
è evidente guardando la figura precedente relativa alla tangente dove il prolungamento del raggio unitario interseca la retta tangente alla circonferenza
nel punto T che si va via via allontanando man mano che l'angolo
α → 90° fino a quando, in condizioni di parallelismo, la retta tangente non è più intersecata.
Tutto questo si ripete periodicamente ogni π radianti.
È possibile esprimere seno e coseno in funzione della tangente dell'angolo; per ricavare le formule, si parta dalla formula della tangente
tg α =
sen α
cos α
;
elevando al quadrato
tg2 α =
sen2 α
cos2 α
tg2 α · cos2 α = sen2 α
sen2 α =
tg2 α
1 + tg2 α
sen α =
± tg α
√1 + tg2 α
e si vede che
tg α → ± ∞
sen α → 0
In modo analogo si trova che
cos α =
± 1
√1 + tg2 α
e si ricava facilmente che se
tg α → ± ∞
cos α → 1
|
|
| Come detto per la tangente, anche la cotangente è periodica di 180° e non esiste in corrispondenza dell'annullamento del seno, visto che nella
formula si trova al denominatore.
Quindi si può dire che la cotangente è definita a patto risulti
α ≠ kπ, ∀k ∈
 ... -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ... , cioè
all'insieme dei numeri interi relativi.
Per il calcolo di
sen α e di cos α , si può fare ricorso anche
a formule in funzione della cotangente, così come per la tangente; procedendo in modo analogo si ottiene
cos α =
± cotg α
√1 + cotg2 α
e per il seno
sen α =
± 1
√1 + cotg2 α
e ancora una volta
cotg α → ± ∞
sen α → 0
cos α → 1
|
|
|
Consideriamo la circonferenza goniometrica di raggio unitario e gli angoli
α = AÔP |
β = BÔP |
α - β = AÔB |
α - β = CÔP quest'ultima uguaglianza per costruzione.
Sappiamo inoltre che
A(cosα; senα) | C(cos(α-β); sen(α-β))
| B(cosβ; senβ) | P(1; 0)
perchè abbiamo a che fare con la circonferenza goniometrica di raggio unitario.
Per costruzione le corde AB e CP hanno lunghezza uguale
e quindi si può scrivere AB2 = CP2
vale a dire
(xA - xB)2 + (yA - yB)2 =
(xC - xP)2 + (yC - yP)2 e sostituendo le rispettive coordinate
(cosα - cosβ)2 + (senα - senβ)2 =
[cos(α - β) - 1]2 + [sen(α - β) - 0]2
e sviluppando i quadrati, tenendo le parentesi per evidenziare
(cos2α + cos2β - 2 cosα cosβ) +
(sen2α + sen2β - 2 senα senβ) =
[cos2(α - β) + 1 - 2 cos(α - β)] + sen2(α - β)
e ricordando l'unità trigonometrica fondamentale, possiamo scrivere
cos2α = 1 - sen2α | cos2β = 1 - sen2β | cos2(α - β) = 1 - sen2(α - β)
e, sostituendo nella precedente espressione, otteniamo
1 - sen2α + 1 - sen2β - 2 cosα cosβ +
sen2α + sen2β - 2 senα senβ) =
1 - sen2(α - β + 1 - 2 cos(α - β)] + sen2(α - β)
semplificando
2 - 2 cosα cosβ +
- 2 senα senβ =
2 - 2 cos(α - β)
in definitiva
|
|
cos(α - β) = cosα cosβ + senα senβ
|
Partendo da questa relazione trovata, se ne possono determinare altre analoghe a questa.
Per cominciare, vediamo come trovare la formula per calcolare
cos(α + β); basterà osservare che possiamo scrivere
cos[α - (- β)] così che si ottiene
cos[α - (- β)] = cosα cos(-β) + senα sen(-β) e poichè
cos(-β) = cos β e
sen(-β) = - sen β &bsp;
andando a sostituire, si ottiene
|
cos(α + β) = cos α cos β - sen α sen β
|
Successivamente vediamo come si possa calcolare il sen(α + β).
Per fare ciò, ricordiamo che per angoli complementari vale la formula cos(90°- β) = sen β e quindi si può porre
sen(α + β) = cos[90° - (α + β)] =
cos[(90° - α) - β)] =
cos(90° - α) cos β + sen(90° - α) sen β
e poichè cos(90° - α) = sen α e
sen (90° - α) = cos α sostituendo, si ottiene il risultato finale
|
sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β
|
In modo analogo possiamo calcolare sen(α - β); basta infatti scrivere sen(α + (- β)), per ricondursi al caso precedente, ottenendo
sen(α - β) = cos[90° - (α - β)] =
cos[(90° - α) + β)] =
cos(90° - α) cos β - sen(90° - α) sen β
e come prima per la complementarietà degli angoli, si ottiene
|
sen(α - β) = sen α cos β - cos α sen β |
Per trovare le formule relative a tangente e cotangente di somma di angoli, si procede in maniera diretta:
tan (α + β) =
sen (α + β)
cos (α + β)
=
sen α cos β + cos α sen β
cos α cos β - sen α sen β
=
sen α cos β + cos α sen β
cos α cos β - sen α sen β
·
cos α cos β
cos α cos β
Osservando che si è moltiplicato numeratore e denominatore per cos α cos β,
ottenendo infine
tan (α ± β) =
tan α ± tan β
1  tan α tan β
|
avendo compreso anche la tangente della differenza di angoli.
In modo analogo per la cotangente si trova
|
cotan (α ± β) =
cotan α cotan β 1
cotan α ± cotan β
|
Da queste formule relative alla somma di angoli si ricavano le formule di duplicazione degli archi, calcolando di seno, coseno, tangente di un angolo doppio;
bastando porre nelle formule al posto di
α + β α + α; in questo modo si ottiene
|
cos 2 α = cos2 α - sen2 α
|
|
tan 2 α =
2 tan α
1 - tan2 α
|
|
cotan 2 α =
cotan2 α - 1
2 cotan α
|
A questo punto passiamo alle formule di bisezione degli archi, per ottenere seno, coseno, ecc.. per l'angolo
α
2
in funzione di
cos α; a questo proposito, partendo dalla duplicazione del coseno, si ha
cos α =
cos2 α
2
-
sen2 α
2
=
(1 - sen 2 α
2
) -
sen 2 α
2
=
1 - 2 sen 2 α
2
sen 2 α
2
=
1 - cos α
2
sen α
2
=
dove la scelta del segno dipende dal quadrante dove cade l'angolo
α
2
e così si ha, analogamente
cos α
2
=
e
tan α
2
=
|
sen α
2
=
cos α
2
=
tan α
2
=
|
Formule parametriche razionali
Per la risoluzione di alcune equazioni goniometriche lineari in sen x e cos x, tornano utili le formule per trovare
sen α e cos α in funzione di
tan α
2
; indicando con
t = tan α
2
, abbiamo dalle formule di duplicazione
sen α =
2 sen α
2
cos α
2
d'altra parte, posto come detto,
t = tan α
2
si ha
sen α
2
=
± t
√1 + t2
e
cos α
2
=
± 1
√1 + t2
e andando a sostituire nella formula di duplicazione del seno, otteniamo
sen α
=
2 t
1 + t2
e così in maniera analoga nella formula di duplicazione del coseno
cos α =
cos2
α
2
-
sen2
α
2
=
1
1 + t2
-
t2
1 + t2
=
1 - t2
1 + t2
Le formule di Prostaferesi
Per ricavarsi le formule di prostaferesi si parte dalle formule relative a somma e differenza di angoli
E così per i coseni di somma e differenza di angoli
|
| ☆ 1) Vediamo a questo punto, con esempi, come sia possibile applicare le formule studiate per risolvere determinate equazioni goniometriche; e consideriamo a tal proposito l'equazione
sen x + cosx - 1 = 0; cominciamo portando a secondo membro il termine noto
sen x + cosx = 1 ed osservando che se moltiplichiamo l'equazione per
√2
2
, otteniamo
√2
2
sen x +
√2
2
cos x
=
√2
2
dove però giova osservare che
√2
2
è sia il seno che il coseno di
π
4
e quindi possiamo scrivere
sen π
4
· sen x +
cos π
4
· cos x
=
√2
2
cioè
cos (π
4
- x) =
√2
2
da cui
π
4
- x =
π
4
+ 2kπ
x = 2kπ
e anche
π
4
- x =
- π
4
+ 2kπ
x =
π
2
+ 2k π
L'equazione appena risolta appartiene ad un gruppo di equazioni chiamate Equazioni lineari in seno e coseno ed è un
caso particolare che può essere ricondotto alla somma/differenza di due angoli α e β. Spesso però non è possibile ricondurle
a quel tipo di risoluzione, ed infatti un metodo di risoluzione più generale fa ricorso alle Formule parametriche razionali che verranno illustrate
in seguito, tra poco; in base ad esse sen x e cos x si esprimono in funzione di
tan
x
2
,
ottenendosi in genere equazioni di secondo grado nella tangente, usando per semplicità di scrittura la variabile ausiliaria
t = tan
x
2
; ed allora esse, ricavate in seguito, sono
sen
x
2
=
2 t
1 + t2
; e
cos
x
2
=
1 - t2
1 + t2
; e quindi se nell'equazione
sen x + cos x - 1 = 0 facciamo la sostituzione, otteniamo
2 t
1 + t2
+
1 - t2
1 + t2
- 1 = 0
2t + (1 - t2) - (1 + t2) = 0
2 t2 - 2t = 0
t2 - t = 0
cioè t = 0 e anche t = 1
da cui si ricava
x
2
= k π
x = 2k π
e anche
x
2
=
π
4
+ k π
x =
π
2
+
2k π
In realtà quando facciamo la sostituzione con la tangente dell'angolo metà potremmo perdere delle soluzioni che l'uso della tangente
esclude in quanto a quei valori dell'angolo la tangente non esiste; queste soluzioni sono
x
2
=
π
2
+ k π
che danno per l'angolo x i valori
x = π + 2k π per essere sicuri che non siano soluzioni dell'equazione, andiamo a sostituire all'angolo
x nell'equazione il valore π per vedere se verifica o meno l'equazione (quindi
si esegue un controllo per così dire diretto); nel caso in esame si ha sen π + cos π - 1 = 0 - 1 - 1 ≠ 0
quindi non sono soluzioni, per cui le uniche sono quelle precedentemente trovate. Il controllo è necessario farlo ogni qualvolta si usi la suddetta sostituzione.
|
|
| ☆ 2) Risolvere l'equazione sen (
2x - π
3
) + √3 cos
(
2x - π
3
) -
√3 = 0
Qui conviene fare la sostituzione
φ =
2x - π
3
ottenendo
sen φ + √3 cos φ - √3 = 0.
Anche questa è equazione lineare in seno e coseno che può essere risolta con le formule parametriche razionali o
aggiustandola in modo da ricondurla a seno o coseno di somma o differenza di angoli; in quest'ultimo caso, dividendo l'equazione per 2, si ottiene
una volta scritta l'equazione come
sen φ + √3 cos φ - √3 = 0,
dopo la sostituzione con la variabile φ, si può utilizzare il metodo della sostituzione
con le formule parametriche razionali funzioni di t = tan (φ/2), ricordando che
sen φ =
2 t
1 + t2
e che
cos φ =
1 - t2
1 + t2
dove
t
=
tan φ
2
;
sostituendo si ha
2 t
1 + t2
+
√3
1 - t2
1 + t2
- √3 = 0
2t +
√3
(1 - t2) -
√3(1 + t2) = 0
√3 t2 - t = 0
da cui si ottiene
t = 0
φ1
2
=
arctan 0 = k π
φ1 = 2 kπ
ed anche
t =
√3
3
φ2
2
=
arctan
(
√3
3
) =
π
6
+ k π
φ2
=
π
3
+ 2 k π
e per finire operiamo l'ultima sostituzione, mettendo al posto di φ = 2x -
π
3
; quindi, avremo
2 x1 -
π
3
= φ1 = 2 k π
x1 =
π
6
+ k π
ed anche
2 x2 -
π
3
= φ2 =
π
3
+ 2 k π
x2 =
π
3
+ k π
|
| ☆ 3) Risolvere l'equazione
sen2 x + (1 - √3) sen x cos x -
√3 cos2 x = 0.
Questa equazione si può risolvere in modi diversi; intanto rientra nella categoria delle equazioni omogenee, dal momento che il
grado totale di tutti i termini è sempre il secondo.
Il termine con coefficiente binomiale si può scindere in due, raccogliendo i quattro termini risultanti a due a due
sen2 x + sen x cos x - √3 sen x cos x -
√3 cos2 x = 0
sen x(sen x + cos x) - √3 cos x (sen x + cos x) = 0
(sen x + cos x) (sen x - √3 cos x) = 0
e per la legge di annullamento del prodotto
sen x + cos x = 0 sen x - √3 cos x = 0
tan x + 1 = 0 tan x -
√3 = 0
tan x = -1 tan x =
√3
x =
-
π
4
+ k π
x =
π
3
+ k π
L'equazione si poteva risolvere dividendo subito per cos2 x a patto che
cos x ≠ 0 x ≠ kπ, ottenendo
tan2 x + (1 - √3) tan x -
√3 = 0 da cui si ottiene
come gia visto in precedenza.
| |
|
| ☆ 4) Risolvere l'equazione
sen 5x + 1 - 2 sen2x = sen 3x - cos 6x.
Osserviamo che a primo membro l'espressione 1 - 2 sen2 x, in virtù
dell'identità goniometrica, si può scrivere come sen 2x + cos2x - 2 sen2x
cos2x - sen2x e quindi l'equazione diventa
sen 5x + cos2x - sen2x = sen 3x - cos 6x; dove
cos2x - sen2x = cos 2x e quindi
sen 5x + cos 2x = sen 3x - cos 6x; infine, spostando i seni a primo membro e i coseni al secondo, otteniamo
una equazione a cui si possono applicare le prostaferesi sen 5x - sen 3x = - (cos 2x + cos 6x), ottenendo
cos 4x sen x = - cos 4x cos 2x e quindi
cos 4x (sen x + cos 2x) = 0 da cui si ottengono le equazioni più semplici
cos 4x = 0 e
sen x + cos 2x = 0 con la prima che da
4x =
π
2
+ kπ x =
π
8
+
k π
4
La seconda equazione, cioè sen x + cos 2x = 0, va elaborata osservando che a cos 2x si può sostituire la formula di duplicazione
del coseno, quindi si ottiene sen x + cos2 x - sen2x = 0 e poichè per l'identità
trigonometrica cos2 x = 1 - sen2 x, si ottiene
sen x + 1 - sen2 x - sen2x = 0
2 sen2 x - sen x - 1 = 0
e quindi
sen x =
1 ± √1 + 8
4
=
1 ± 3
4
vale a dire
|
|
sen x1 = 1
sen x2 =
- 1
2
|
x1 =
π
2
+ 2k π
x2,3 =
7
6
π + 2k π
| 
|
11
6
π + 2k π
|
|
|
x =
π
2
π +
2
3
k π
|
| perchè l'ultima formula è
l'unione delle tre precedenti,
dal momento che tutte e
tre formano,
partendo da
π
2
,
una periodicità di
2
3
π
|
|
|
| ☆ 1) Risolvere la disequazione
sen 4x - sen 3x + sen 2x > 0.
Determiniamo prima il campo di esistenza, trovando gli zeri (da escludere, perchè le soluzioni devono essere > 0 ) dell'equazione
Elaboriamo, fattorizzandolo, pertanto il primo membro; applicando prostaferesi ai seni di angoli pari
2sen 3x cos x - sen 3x = 0
sen 3x (2 cos x - 1) = 0
sen (2x + x) (2 cos x - 1) = 0
(sen 2x cos x + cos 2x sen x) (2 cos x - 1) = 0
(2 sen x cos2 x + cos2 x sen x -
sen2 x sen x) (2 cos x - 1) = 0
(3 sen x cos2 x -
sen3 x) (2 cos x - 1) = 0
sen x (3 cos2 x -
sen2 x) (2 cos x - 1) = 0
sen x (3 - 3 sen2 x -
sen2 x) (2 cos x - 1) = 0
sen x (3 - 4 sen2 x) (2 cos x - 1) = 0
|
|
sen x = 0
3 - 4 sen2 x = 0
2 cos x - 1 = 0
|
|
|
sen x = 0
sen x =
±√3
2
cos x =
±
1
2
|
|
e quindi la
disequazione
accetta tutte
le soluzioni reali,
escluso x ∈
kπ + 2 kπ,
±
π
3
+ 2 kπ,
2
3
π + 2 kπ,
4
3
π + 2 kπ,
5
3
π + 2 kπ
|
Adesso studiamo il segno dei singoli fattori della disequazione
|
|
sen x > 0 2kπ < x < π + 2kπ (esclusi, si ribadisce, i pallini rossi sulle ascisse)
3 - 4 sen2 x > 0
- √3
2
< sen x <
√3
2
(4
3
π + 2kπ
< x <
5
3
π + 2kπ)
U
(π
3
+ 2kπ < x <
2
3
π + 2kπ)
2 cos x - 1 > 0
cos x >
12
(2kπ - π3
< x < 2kπ)
U (2k π < x <
π3
+ 2kπ)
|
Sulle circonferenze concentriche sono riportati tratteggiati gli intervalli dove il fattore esaminato
(come visto, i fattori sono 3:
sen x > 0;
3 - 4 sen2 x > 0
e 2 cos x - 1 > 0)
è minore di zero, mentre a tratto continuo gli intervalli
angolari dove il fattore è maggiore di zero; infine i pallini indicano gli zeri, cioè l'angolo a cui il fattore si azzera.
Ovviamente il segno dell'intero prodotto si ottiene dal prodotto dei segni dei tre fattori.
Gli intervalli angolari che soddisfano la disequazione sono quelli con segno globale positivo, ovviamente.
In definitiva si ha
2kπ < x <
π3
+ 2kπ
π3
+ 2kπ < x <
23
π + 2kπ
π + 2kπ < x <
43
π + 2kπ
|
|
| ☆ 2) Risolvere la disequazione
sen3 x + sen2 x cos x - 3 sen x cos2 x - 3 cos3 x < 0.
Se x ≠
π
2
+
kπ si può scrivere:
cos3 x
(sen3 x
cos3 x
+
sen2 x cos x
cos3 x
-
3 sen x cos2 x
cos3 x
-
3 cos3 x
cos3 x
)
< 0
cos3 x (tg3 x
+
tg2 x
-
3 tg x
-
3)
< 0
cos3 x [tg2 x (tg x + 1) - 3 (tg x + 1)] < 0
cos3 x (tg2 x - 3) (tg x + 1) < 0
|
A questo punto studiamo il segno dei singoli fattori
|
|
Il primo fattore è
cos3 x > 0
cos x > 0
e nella figura in alto a sinistra è indicato in rosso l'intervallo angolare in cui la disequazione elementare
cos x > 0
è verificata; si può scrivere in termini matematici
(3
2
π + 2kπ
< x ≤ 2kπ)
U
(2kπ ≤ x <
π
2
+ 2kπ)
gli estremi degli intervalli angolari esclusi lo sono perchè in essi il coseno si annulla; si noti inoltre che per indicare gli intervalli angolari
si cerca di evitare valori angolari negativi, facendo ricadere per comodità gli stessi nel primo angolo giro ed espressi in forma positiva; così ad esempio
non si considera l'angolo
- π
4
, ma conviene considerare l'angolo equivalente
7
4
π
Il secondo fattore di cui si studia il segno è
(tg x + 1) > 0 tg x > -1
Nel grafico relativo, a sinistra, in rosso come al solito sono riportati gli intervalli angolari che soddisfano la disequazione elementare
(tg x + 1) > 0 e i pallini verdi indicano gli zeri o altri valori angolari da escludere; in sostanza abbiamo le seguenti soluzioni
2kπ < x <
π
2
+ 2kπ ed anche
3
4
π + 2kπ < x <
π + 2kπ
e quindi
π + 2kπ < x <
3
2
π + 2kπ
e infine
7
4
π + 2kπ < x <
2π + 2kπ
|
che si possono scrivere come unione di intervalli
(2kπ < x <
π
2
+ 2kπ) U
(3
4
π + 2kπ < x <
π + 2kπ) U
(π + 2kπ < x <
3
2
π + 2kπ) U
(7
4
π + 2kπ < x <
2π + 2kπ)
|
Per finire, le soluzioni della disequazione elementare relativa al terzo fattore, cioè
tg2 x - 3 > 0
per la quale si ha,
avendo trovato gli zeri della equazione associata, che le soluzioni della disequazione in termini di tangenti, derivanti da
(tg x - √3) (tg x + √3) > 0
sono, come illustrato qui a lato
(tg x < - √3)
U (tg x > + √3)
mentre per le soluzioni angolari, come riportato nel terzo grafico più a sinistra, partendo sempre dall'alto,
evidentemente si ha
π
3
+ 2kπ < x <
2
3
π + 2kπ
ed anche
4
3
π + 2kπ < x <
5
3
π + 2kπ ma con x ≠
π
2
+ kπ
Determinato come variano i segni dei tre fattori della disequazione, riportiamoli tutti in un grafico, supponiamo a circonferenze concentriche,
ma che potrebbe essere anche lineare, così da determinare il segno complessivo del prodotto dei tre fattori e come varia con l'angolo, in modo
da torvare le soluzioni della disequazione.
| Quindi, in definitiva, otteniamo la soluzione
|
|
2kπ < x <
π
3
+ 2kπ
2
3
π + 2kπ < x <
3
4
π
+
2kπ
4
3
π + 2kπ < x <
3
2
π
+
2kπ
3
2
π + 2kπ < x <
5
3
π
+
2kπ
7
4
π + 2kπ < x <
2kπ + 2kπ
|
|
|
| ☆ 3) Risolvere la disequazione
cos3 x + cos2 x sen x - 3 cos x sen2 x - 3 sen3 x < 0.
Se x ≠ 2kπ (da escludere perchè il seno è nullo) si può moltiplicare e dividere per
sen3 x, ottenendo
sen3 x (
cos3 x
sen3 x
+
cos2 x sen x
sen3 x
-
3 cos x sen2 x
sen3 x
-
3 sen3 x
sen3 x
) < 0
sen3 x (cotg3 x + cotg 2 x - 3 cotg x - 3) < 0
sen3 x (cotg2 x - 3) (cotg x + 1) < 0
Studiamo il segno dei singoli fattori
l'intervallo angolare in cui risulta verificata la disequazione elementare
sen3 x > 0 è quello indicato a lato nella figura più in alto, e risulta quindi
sen3 x > 0
2kπ < x < π + 2kπ
La seconda illustrazione in mezzo, che riporta il grafico della cotangente, indica gli intervalli angolari in cui risulta verificata la disequazione
elementare
cotg x + 1 > 0
per la quale evidentemente risulta
cotg x + 1 > 0
cotg x > -1
2kπ < x <
π
2
+
2kπ ed anche
(π
2
+
2kπ < x <
3
4
π +
2kπ) U (π + 2kπ < x <
3
2
π +
2kπ) U (
3
2
π +
2kπ < x <
7
4
π +
2kπ)
A questo punto consideriamo la terza disequazione elementare, vale a dire
cotg2 x - 3 > 0 per la quale vale il terzo grafico, più in basso, dove risulta
cotg2 x - 3 > 0
(cotgx < - √3) U (cotg x > √3)
Dalla situazione illustrata nella figura a lato, dove in rosso sono i valori che soddisfano la disequazione elementare cotg2 x - 3 > 0, mentre
in verde chiaro i valori angolari da escludere, perchè sono zeri dell'equazione associata o valori non compresi,
si deduce che gli intervalli angolari cercati, soddisfacenti la suddetta disequazione elementare, sono
(2kπ
< x <
π
6
+ 2kπ) U
(5
6
π + 2kπ < x <
π + 2kπ) U
(
7
6
π + 2kπ < x <
π
2
+ 2kπ
)
U
(11
6
π + 2kπ
< x <
2kπ + 2kπ)
|
In definitiva, mettendo tutte le soluzioni trovate per le disequazioni elementari relative ai singoli fattori in un unico grafico e determinando il segno globale
per ogni intervallo angolare, ricordando che vanno scelti gli intervalli angolari per i quali il segno comp,essivo è negativo, si ottiene
|
|
|
|
Lo studio del segno dell'intero prodotto a primo membro della disequazione conduce alla seguente soluzione
(π
6
+ 2kπ
< x <
π
2
+ 2kπ) U
(π
2
+ 2kπ < x <
3
4
π + 2kπ) U
(
5
6
π + 2kπ < x <
π + 2kπ
) U (π + 2kπ < x <
7
6
π + 2kπ) U (
7
4
π + 2kπ
< x <
11
6
π + 2kπ)
Il primo e secondo intervallo sono contigui, ma separati da uno zero (soluzione dell'equazione associata) a
π
2
come pure a π
|
|
Teoremi per la risoluzione di triangoli qualunque
Il Teorema della corda
|
Il teorema della corda mette in relazione corda, angolo al centro e alla circonferenza sottesi dalla corda, con il raggio/diametro della circonferenza.
Intanto da un teorema di geometria euclidea si sa che l'angolo al centro che sottende la corda
(2α) è
sempre la metà di quello alla circonferenza (α).
Il teorema si può enunciare dicendo
In una circonferenza, la misura di una corda è data dal prodotto del diametro per il seno di uno qualunque degli angoli alla circonferenza che sottendono la corda
Si distinguono, così, tre casi:
- Caso 1)
la corda AB coincide con il diametro.
In questo caso detto 2R il diametro, e sapendo da un teorema di geometria euclidea che
tutti i triangoli inscritti in una semicirconferenza sono rettangoli, con angolo retto alla circonferenza
si può evidentemente scrivere AB
= 2R sen AÔB
, essendo sen AÔB = 1 poichè appunto AÔB = 90°
- Caso 2) il punto P vertice dell'angolo sulla circonferenza si trova da parte opposta alla corda rispetto al centro.
In questo caso l'altezza OH divide la corda AB e l'angolo
2α in parti uguali, e quindi risulta per il primo teorema dei triangoli rettangoli
(che mette in relazione i cateti con l'ipotenusa attraverso il seno angolo opposto o il coseno angolo adiacente)
AB =
AH + BH = R sen α + R sen α = 2 R sen α oppure
ragionando sul fatto che il triangolo AOB è isoscele e quindi gli angoli
AÔH = BÔH =
π - 2α
2
= (90° - α) e quindi per il teorema delle proiezioni risulta
AB = 2 R cos (90° - α) = 2 R sen α
- Caso 3) il punto P vertice dell'angolo sulla circonferenza si trova dalla stessa parte della corda rispetto al centro.
In questo caso, preso sulla circonferenza un punto P' da parte opposta a P
rispetto alla corda ABed osservando che per un teorema di geometria euclidea risulta che
nei quadrilateri inscritti in una circonferenza gli angoli opposti sono supplementari
per cui se l'angolo AP'B = α allora APB
= 180° - α
e quindi per il caso precedente si può scrivere
AB = 2 R sen α = 2 R sen (180° - α) essendo i seni di angoli supplementari uguali.
Il Teorema dei seni
|
|
| Abbiamo il seguente teorema:
Dato un triangolo qualunque (rettangolo, isoscele o scaleno) ABC la misura di un lato è proporzionale al seno dell'angolo opposto
Inscriviamo il triangolo ABC in una circonferenza, come nella figura a sinistra.
Ad ognuno dei lati del triangolo si può applicare il Teorema della Corda, in base al quale si può scrivere
BC = 2R sen α |
AB = 2R sen γ |
AC = 2R sen β
dove R è il raggio della circonferenza circoscritta. Infatti risulta
E quindi applicando il teorema della corda ai singoli lati, si ottiene appunto
BC = 2R sen α |
AB = 2R sen γ |
AC = 2R sen β
cioè
2 R =
a
sen α
=
b
sen β
=
c
sen γ
che si può enunciare anche dicendo
In un triangolo qualunque il rapporto tra la misura di un lato e il seno dell'angolo opposto
è uguale al diametro della circonferenza circoscritta
| |
Il Teorema delle proiezioni
Teorema di Carnot o teorema del coseno
|
| Il Teorema di Carnot o Teorema del coseno in un triangolo qualunque (rettangolo, isoscele o scaleno) si può enunciare, dicendo
Dato un triangolo qualunque (rettangolo, isoscele o scaleno) ABC il quadrato della misura di un lato
(ad esempio a) si calcola
con la somma dei quadrati degli altri due
(b, c)
diminuita del loro doppio prodotto con il coseno dell'angolo da essi formato
quindi, con riferimento alla figura a lato, in formule si ha
a2 = b2 + c2 - 2 bc cos α
Dal triangolo rettangolo BCH si ha a2 =
BH2 + CH2 dove
BH2 = (c - AH)2 =
c2 + AH2 - 2 c AH
con AH = b cos α
e
AH2 = b2 cos2 α mentre dal triangolo
ACH si ha
CH2 = b2 sen2 α e sostituendo, si ha
a2 =
BH2 + CH2 =
c2 + AH2 - 2 c AH
+ CH2 = c2 + b2 cos2 α
- 2 c b cos α + b2 sen2 α =
b2 (cos2 α + sen2 α)
+ c2 - 2 bc cosα =
b2 + c2 - 2 bc cosα C.V.D. dal momento che in parentesi c'è l'identità goniometrica.
|
|
| La dimostrazione si deve fare anche nel caso di un triangolo scaleno ottusangolo, come nella figura a lato.
A tal proposito, si ha
a2 =
BH2 + CH2
dove BH =
AH - c e
CH = b sen α; sostituendo si ha
a2 = (AH - c)2
+ b2 sen2 α; d'altra parte risulta anche
AH = b cos α e sostituendo
si ottiene, in definitiva
a2 = (b cos α - c)2
+ b2 sen2 α =
b2 cos2 α + c2 - 2 bc cos α + b2 sen2 α
= b2 (cos2 α + sen2 α) + c2 - 2 bc cos α
=
b2 + c2 - 2 bc cos α
C.V.D. avendo in parentesi l'identità goniometrica.
|
|
| ☆ 1) di un triangolo qualunque calcolare gli elementi incogniti, sapendo che a =
√3 + 1 β = 30° γ = 45° .
Determino l'angolo α per differernza
α = 180° - (β + γ) = 180° - 75° = 105° quindi
con il teorema dei seni determino i lati incogniti
a
sen α
=
b
sen β
=
c
sen γ
ottenendo
b = a sen β
sen α
e
c = a sen γ
sen α
dovendo calcolare sen α essendo sen β sen γ valori noti; e
quindi
sen α = sen 105° = cos 15° = cos (45° - 30°) =
cos 45° cos 30° + sen 45° sen 30° =
√2
2
·
√3
2
+
√2
2
·
1
2
=
1
4
(√6 + √2) e per finire
b = a sen β
sen α
= (√3 + 1) ·
1
2
· 4 ·
1
√6 + √2
=
2 (√3 + 1)
√6 + √2
=
2 (√3 + 1) (√6 - √2)
(√6 + √2)
(√6 - √2)
=
(√3 + 1) (√6 - √2)
2
= √2 in modo analogo
c = a sen γ
sen α
=
(√3 + 1) ·
√2
2
·
4
√6 + √2
=
2 (√6 +
√2)
√6 + √2
=
2
|
